统计学若干问

异常值应该如何处理？
1. 首先检查是否有数据录入错误；
2. 不能因为异常值比期望过高或过低而移除；
3. 使用敏感度分析，比较异常值对结果的影响，如影响较大：
  1. 转换数据（对数、平方根等等）；
  2. 非参数检验。

何时需要转换数据？如何转换数据？
1. 转换数据的目的：
  - 使数据正态分布；
  - 使两个变量呈线性关系；
  - 使方差稳定。
2. 常见的转换方法：
  - 对数
    - 单个变量，分布右偏，取对数可接近正态分布（常见于部分生化指标）；
    - 两个变量，指数关系，因变量取对数可接近线性关系；
    - 分组数据，数值大的组方差大，取对数可使方差相似。
  - 平方根
    - 和对数转换类似（常见于发生次数少的事件数）；
    - 方差/平均值为常数时可使方差相似。
  - 倒数
    - 用于生存分析，对存活时间取倒数；
    - 方差/平均值的四次方为常数时可使方差相似。
  - 平方
    - 单个变量，分布左偏，取平方可接近正态分布；
    - 两个变量，上凸，取平方可接近线性关系；
    - 分组数据，数值小的组方差大，取平方可使方差相似。
  - Logit转换
    - $logit(p)=\ln\frac{p}{1-p}$为
    - 因变量p范围（0，1），S型曲线，取Logit可使其线性化。

何时需要非参数检验？

参数检验	非参数检验	需要使用非参数检验的条件
成对t检验	Wilcoxon配对检验	差异不是正态分布
两样本t检验	Mann-Whitney U检验（Wilcoxon检验的两样本情形）	方差不等；样本数少时非正态分布也有影响
方差分析ANOVA F检验	Kruskal-Wallis检验	方差不等；严重偏离正态分布

如何判断数据是否正态分布？方差相等？
1. 判断正态分布：Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验；
2. 判断方差相等：Levene检验、Bartlett检验；
3. Bartlett检验要求正态分布，Levene检验则没有要求。

如何进行相关性分析？
1. 当散点图提示两个变量为接近线性关系时，可以计算Pearson相关系数r。r的绝对值越接近1，则相关性越强；
2. 如果出现以下情形，则r值可能不正确：
  - 两个变量的关系不是线性（如二次函数关系）；
  - 每个个体出现一个以上的观察值；
  - 出现至少一个异常值；
  - 数据分布呈现次群组，且这些次群组至少有一个变量的平均值不同。
3. 如果出现以下情形的一项，应该计算Spearman相关系数而不是Pearson相关系数：
  - 至少一个变量是等级数据（非连续数据）；
  - 两个变量均不是正态分布；
  - 样本数很小；
  - 两个变量不是线性关系。

如何确定样本量？
1. 确定如下三个变量：
  - 效力，即1-β，一般至少80%；
  - 显著水平，即α，一般为0.05或0.01；
  - 有临床意义的平均值的最小差异δ。
2. 计算标准化的差异，见下表，如无标准差结果则可能需要预试验；
3. 初步计算样本量N：
  - 使用Altman计算图表，将标准化的偏差和效力连线，取得交叉点的数值，即总样本量；
  - 或者使用快速公式，即Lehr公式，用于计算效力80%、显著水平0.05的各组样本量：$$\frac{16}{(Standardized Difference)^{2}}$$如果效力为90%，则将分子16换乘21。如果标准化的差异小，该方法易高估。
  - 或者使用软件计算,如中提供的power.t.test等。
4. 校正样本量
  - 除了Lehr公式外，以上计算结果N为总样本量，每组平均分配；
  - 在病人数少或药物有限等情况下，可减少一组人数而增加另一组人数；
  - 人数不平衡时，效力会下降，因此需要增加总样本数；
  - 设某组（通常为对照组）的人数是另一组（通常为实验组）的k倍，则校正后的总样本数为：$$N'=\frac{N(1+k)^{2}}{4k}$$故人数少的一组有$\frac{N'}{1+k}$人，人数多的一组有$\frac{kN'}{1+k}$人。

检验方法	标准化的差异	说明
成对t检验	$\frac{2δ}{σ_{d}}$	σ_d为差异的标准差
非成对t检验	$\frac{δ}{σ}$	σ为两组数据假设的相等的标准差
卡方检验	$\frac{p_{1}-p_{2}}{\sqrt{\overline{p}(1-\overline{p})}}$	p₁-p₂为两组的成功比例有临床意义的最小差异

样本量有限时如何增加效力？
- 收集更详细的信息，数值数据（如：血压的值）优于分类数据（如：正常血压/高血压）；
- 进行不同形式的分析，如：参数检验比非参数检验更有效力；
- 收集数据时减少随机误差，如：标准化、训练受试者；
- 修正研究设计。